Родился Аристарх Крапивин 10 октября 1909 года в селе Щелкун Свердловская область. Окончил Свердловский учительский институт. Работал учителем. После успешной учёбы на юридических курсах в 1935-1936 годах, поступил во Всесоюзный заочный юридический институт. Работал главным юрисконсультом комбината «Уралуголь» в Свердловске.
В Красной Армии с июля 1941 года. Служил секретарём военного трибунала 63-й морской стрелковой бригады в Архангельске. 10 марта 1942 года был контужен разрывом авиабомбы и до мая 1942 года находился в госпитале в городе Онега (Архангельская область). В 1942 году окончил курсы «Выстрел» (г. Архангельск).
С октября 1942 года ‒ командир разведывательной роты, помощник начальника штаба бригады по разведке, командир 1-го мотострелкового батальона 45-й механизированной бригады. Воевал на Брянском, Юго-Западном и Западном фронтах. Участвовал в Сталинградской битве, Миллерово-Ворошиловградской и Спас-Деменской операциях. 10 августа 1943 года был тяжело ранен и до октября 1943 года находился в госпитале в Москве. С января 1944 года в составе 1-го и 2-го Украинских фронтов участвовал в Корсунь-Шевченковской, Уманско-Ботошанской и Ясско-Кишинёвской операциях. За проявленные мужество и героизм был награжден орденами Красного Знамени, Александра Невского, Красной Звезды и медалями.
Особо отличился при освобождении Румынии. 20-31 августа 1944 года батальон под его командованием, действуя в составе передового отряда бригады, прошёл от Государственной границы СССР до Бухареста, уничтожив и пленив за это время около 1.250 солдат и офицеров противника. 22 августа 1944 года батальон отличился при взятии города Васлуй, а 31 августа 1944 года ‒ при освобождении города Бухарест.
За мужество и героизм, проявленные в боях, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года майору Крапивину Аристарху Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
7 сентября 1944 года А. И. Крапивин был тяжело ранен и направлен в госпиталь в Свердловске. С января 1945 года служил инструктором в штабе Уральского военного округа. С июля 1945 года майор А. И. Крапивин ‒ в запасе.
В 1947 году окончил Свердловский юридический институт. Работал адвокатом в Свердловске. В марте-июне 1949 года был членом, а в 1949-1955 годах председателем Красноярского краевого суда. С апреля 1955 по июль 1959 ‒ председатель исполкома областного совета Хакасской автономной области, затем ‒ заместитель председателя исполкома Красноярского краевого Совета депутатов.
Жил в Москве. Умер 21 сентября 1992 года. Похоронен на Востряковском кладбище в Москве.
Имя Аристарха Ивановича Крапивина высечено на стелах в Зале Славы Центрального музея Великой Отечественной войны на Поклонной горе в Москве и в Алее Героев в парке Победы столицы Хакасии. На стене здания Красноярского краевого суда установлена памятная доска А. И. Крапивину.
