Родился 7 сентября 1908 года в деревне Батени (сечас Боградский район Республики Хакасия). Рано потерял родителей и воспитывался в детском доме.
Окончив четыре класса, работал в колхозе. В 1930-1932 годах проходил срочную службу в рядах Красной Армии. После демобилизации служил в органах НКВД, затем работал на шахте.
В сентябре 1941 года был вновь призван в армию. Окончил курсы младших лейтенантов. В июне 1942 года назначен командиром стрелковой роты 955-го стрелкового полка, 309-й стрелковой дивизии, 6-й армии. Боевое крещение принял 10 июля 1942 года в оборонительных боях на левом берегу Дона, западнее города Лиски Воронежской области. Воевал на Воронежском, 1-м Украинском, 3-м Белорусском фронтах. Участвовал в оборонительном сражении на Курской дуге, в Острогожско-Россошанской, Белгородско-Харьковской, Белорусской наступательных операциях, в освобождении Левобережной Украины, Минской области, Литвы, форсировании Днепра и реки Неман.
В ходе Сумско-Прилукской фронтовой операции 309-я стрелковая дивизия участвовала в освобождении городов Лохвица и Пирятин. Преодолев с боями около 300 километров, 21 сентября 1943 года она вышла к Днепру западнее Переяслав-Хмельницкого. Батальон Дмитрия Потылицына в ночь на 22 сентября на подручных средствах начал форсирование реки. Несмотря на ураганный огонь, бойцы во главе с комбатом достигли западного берега и коротким штурмом захватили небольшой плацдарм. В период с 22 сентября по 20 октября 1943 года батальон капитана Потылицына отразил 48 контратак, в том числе 12 танковых. В ходе боёв за плацдарм бойцы разгромили два немецких батальона и ещё одному нанесли тяжёлое поражение. Было уничтожено три танка, девять автомашин с боеприпасами и военными грузами, 12 станковых пулемётов, захвачено 56 пленных. 1-й стрелковый батальон Потылицына не только удержал занятый плацдарм, но и существенно расширил его. Перейдя в контратаку, он выбил противника из хутора Монастырёк, а также захватил и удержал важную высоту 175,4. За умелое руководство батальоном, мужество и отвагу, проявленные при форсировании Днепра, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 октября 1943 года капитану Потылицыну Дмитрию Павловичу было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
В конце октября 1943 года Дмитрий Павлович Потылицын был направлен на курсы командного состава «Выстрел», по окончании которых отбыл на 3-й Белорусский фронт. В июне 1944 года, когда началась наступательная операция «Багратион», капитан Потылицын был назначен командиром батальона 171-го гвардейского стрелкового полка 1-й гвардейской стрелковой дивизии 11-й гвардейской армии. Под его командованием батальон участвовал в освобождении города Ошмяны, форсировал Неман южнее города Алитус. В ходе Каунасской фронтовой операции гвардии капитан Потылицын со своим батальоном освобождал западные районы Литвы, участвовал в боях за город Калвария. В августе 1944 года, отразив многочисленные контратаки немецко-фашистских войск на подступах к границам Восточной Пруссии, войска 3-го Белорусского фронта вышли к заранее подготовленным укреплённым позициям противника на рубеже восточнее линии Расейняй ‒ Кибартай ‒ Сувалки.
27 сентября 1944 года в одном из боёв за освобождение Литвы в районе города Гражишкяй гвардии капитан Потылицын погиб. Первоначально он был похоронен в городе Алитус Литовской ССР. Позднее перезахоронен в Рязани, на Скорбященском кладбище.
Имя Потылицына Дмитрия Павловича высечено на стелах в Зале Славы Центрального музея Великой Отечественной войны на Поклонной горе в Москве и Аллее Героев в парке Победы г. Абакана. Его именем названа одна из улиц села Первомайское и районного центра, в память о нем открыта стела в Бограде. В селе Первомайское открыта мемориальная доска в честь Героя Советского Союза Дмитрия Потылицына.
