Родился Анатолий Прокопчик в 5 февраля 1923 года в селе Новоалександровка Новосибирской области. Рано остался без родителей и воспитывался в детском доме города Ачинска Красноярского края. В восемь лет был усыновлён супругами Тихоновыми из села Малое Озеро Шарыповского района. После окончания семилетней школы и курсов трактористов работал в колхозе.
В 13 декабря 1941 года призван в ряды Красной Армии Саралинским РВК Красноярского края. Окончил курсы младших лейтенантов и был направлен в 309-ю стрелковую дивизию (которая формировалась в Хакасии), в составе которой убыл на фронт 30 апреля 1942 года. Боевое крещение принял 7 июля в боях на восточной окраине города Лиски в ходе Воронежско-Ворошиловградской операции. Командир миномётного взвода 957-го стрелкового полка, 309-й стрелковой дивизии 40-й армии Воронежского фронта Анатолий Прокопчик воевал на Дону, участвовал в сражениях на Курской дуге, в операции по освобождению Левобережной Украины, освобождал город Лебедин.
18 сентября 1943 года бойцы 309-й дивизии освободили город Пирятин. За эти боевые заслуги она была удостоена почётного наименования «Пирятинская».
После освобождения Лохвицы и Пирятина 309-я стрелковая дивизия, практически не встречая сопротивления, ускоренными темпами устремилась к Днепру и 21 сентября 1943 года передовыми отрядами вышла на левый берег реки западнее города Переяслава. В ночь на 24 сентября 1943 года в составе штурмового батальона 957-го стрелкового полка миномётный взвод младшего лейтенанта А. П. Прокопчика в числе первых форсировал Днепр. В бою за населённый пункт Балыко-Щучинка Анатолий Павлович со своим взводом пробрался в тыл противника и открыл ураганный миномётный огонь по его позициям, вызвав панику в рядах врага. В результате село было освобождено с минимальными потерями. Умело поддерживая наступление пехоты огнём миномётов, бойцы Прокопчика способствовали закреплению плацдарма на правом берегу Днепра, на который в дальнейшем переправились основные силы полка. В течение четырёх суток боёв на плацдарме младший лейтенант А. П. Прокопчик со своим взводом отразил 18 контратак неприятеля. Заменяя выбывающих из строя подчинённых, Анатолий Павлович выполнял обязанности и заряжающего, и наводчика, лично вёл огонь по вражеской пехоте, уничтожив до 40 солдат и офицеров противника. 28 сентября 1943 года он был тяжело ранен в живот и через несколько часов скончался. Похоронен в братской могиле советских воинов в селе Балыко-Щучинка Кагарлыкского района Киевской области Украины. За мужество и отвагу, проявленные при форсировании Днепра, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 октября 1943 года младший лейтенант Прокопчик Анатолий Павлович был удостоен звания Героя Советского Союза и награждён орденом Ленина и медалью «Золотая звезда» (посмертно).
Пятого октября 1943 года пришёл приказ о присвоении ему очередного воинского звания ‒ лейтенант.
Его награды ‒ медаль «Золотая Звезда», орден Ленина и орден Красной Звезды были переданы Таисии Осиповне Тихоновой.
5 октября 1943 года уже после гибели офицера пришел приказ о присвоении ему очередного воинского звания лейтенант.
Имя Анатолия Павловича Прокопчика высечено на стелах в Зале Славы Центрального музея Великой Отечественной войны на Поклонной горе в Москве и на Алее Героев в парке Победы г. Абакана.
Именем Анатолия Павловича Прокопчика названа улица в селе Парная Шарыповского района Красноярского края. На Малоозерской школе установлена мемориальная доска. В 2020 году в Малоозерской СОШ имени Героя Советского Союза А. П. Прокопчика состоялось торжественное открытие Парты Героя в рамках акции «О Героях былых времен».
В 2021 году в с. Устинкино состоялось торжественное открытие мемориальной доски Герою Советского Союза младшему лейтенанту Прокопчику Анатолию Павловичу.
Именем Героя Советского Союза А. П. Прокопчика названа улица в посёлке Верх-Чебула Кемеровской области, по адресу ул. А. Прокопчика, д. 30 установлена мемориальная доска.
