Родился 18 июля 1922 года в улусе Усть-Киндирла Аскизского (ныне Бейского) района. Родители его были выходцами из бедной крестьянской семьи. Вместе со сверстниками Михаил Иванович пошел учиться в Усть-Кындырлинскую начальную школу, а после окончания поступил в Аскизскую школу, в которой учился до 7 класса. В октябре 1939 года М. И. Чебодаев поступил на курсы учителей начальных классов, а в июле 1940 года получил направление на работу в Сагайскую начальную школу Аскизского района.

    Великая Отечественная война застигла Михаила Чебодаева в возрасте 19 лет. В это время он уже занимался военной подготовкой молодежи, проводил беседы о помощи фронту.

    18 декабря 1941 года был призван Аскизским РВК Хакасской автономной области и направлен в 955 стрелковый полк 309 стрелковой дивизии на должность разведчика взвода пешей разведки, формировавшейся в Абакане. С 9 июня 1942 года М. И. Чебодаев участвует в боях на Юго-Западном, Воронежском и 1-м Украинском фронтах, а с 3 мая 1944 года – на 3-м и 2-м Прибалтийских фронтах.

    В представлении к награждению командиром 955-го стрелкового полка 309-й стрелковой дивизии 40-й армии Воронежского фронта разведчика взвода пешей разведки красноармейца Михаила Чебодаева написано: «Товарищ Чебодаев при выполнении боевого задания командирования в ночь с 21 на 22 сентября 1943 года проявил исключительный героизм и находчивость. Под сильным огнём противника…первой лодкой переправился на правый берег реки Днепр, незаметно подполз к вражескому пулемёту, мешающему продвижению и переправе его товарищей, забросал его расчёт гранатами и вывел из строя. При отражении контратак противника… поднял группу и бросился на озверевших фашистов, врезавшись в их ряды, и в рукопащной схватке, огнём автомата и гранатами уничтожил более 14 солдат противника. Будучи раненым с поля боя не ушёл, а ещё с большей яростью продолжал уничтожать немецких захватчиков. Своим геройским примером бесстрашия и выносливости заражал своих товарищей на боевые подвиги. Группа, в которой находился товарищ Чебодаев, удержала в течение суток важную в тактическом отношении позицию. За проявленную отвагу, мужество и героизм достоин присвоения звания Герой Советского Союза».

    Указом Президиума Верховного совета СССР от 23 октября 1943 года красноармейцу М. И. Чебодаеву было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая звезда».

    26 февраля 1944 года во время боёв был тяжело ранен и направлен на излечение в госпиталь. После излечения в родной полк не попал, а был направлен на комплектование 53 гвардейской стрелковой дивизии 3-го Прибалтийского фронта. Здесь отважный разведчик сменил профессию, став телефонистом 79-го отдельного гвардейского батальона связи дивизии.

    25 февраля 1945 г. Герой Советского союза Михаил Иванович Чебодаев погиб смертью храбрых при освобождении литовского города Скуодас. Ему было 23 года.

    М. И. Чебодаев был похоронен с воинскими почестями в братской могиле дивизионного кладбища в Северо-Западной окраине под местечком Приекуле (Латвия). На основании приказания 51-й армии от 14 апреля 1945 года тело погибшего было перезахоронено в городе Скуодас (Литва), в 18 километрах от Приекуле.

    Имя Михаила Ивановича Чебодаева высечено на стелах в Зале Славы Центрального музея Великой Отечественной войны на Поклонной горе в Москве и Аллее Героев в парке Победы города Абакана.

    В апреле 1975 года Исполнительный комитет Областного совета депутатов трудящихся Хакасской автономной области принял решение «О проведении турнира по вольной борьбе на приз Героя Советского союза Чебодаева Михаила Ивановича, посвященного 30-летию Победы советского народа в Великой Отечественной войне».

    Имя Героя увековечено в названии улиц в Абакане, селе Аскиз, аале Усть-Киндирла. Муниципальная бюджетная общеобразовательная школа-интернат «Аскизский лицей-интернат», Усть-Киндирлинская основная общеобразовательная школа носят имя Героя.

    В 1977 году в селе Аскиз была открыта мемориальная зона Великой Отечественной войны, и здесь установлен бронзовый бюст Героя Советского Союза М. И. Чебодаева. Его имя увековечено на воинском братском кладбище в Приекуле на Памятной плите с фамилиями шести Героев Советского Союза. На братском кладбище похоронены более 23 тыс. советских воинов, погибших в 1944-1945 годах.

    На братской могиле советских воинов, в центре города Скоудас, в сквере сооружен монумент: два воина готовые к бою. Слева и справа от них стоят памятники Героям Советского Союза М. И. Чебодаеву и П. Е. Артомоновскому.

    В Хакасском национальном краеведческом музее имени Л. Р. Кызласова хранятся фотографии, документы и личные вещи Михаила Ивановича Чебодаева..