Родился в 1913 году в городе Самара в семье рабочего. Окончил начальную школу. Потом вместе с родителями переехал в Хакасию ‒ в Ширинский район. В июне 1941 года призван в Красную Армию Ширинским РВК и направлен в 173-ю стрелковую дивизию (2-го формирования). В составе войск армий Резервного, Западного, Сталинградского, Донского, Брянского, Центрального, Белорусского фронтов, а с апреля 1944 года ‒ 69-й армии 1-го Белорусского фронта он участвовал в Московской и Сталинградской битвах, в освобождении Левобережной Украины, в Орловской, Гомельско-Речицкой, Люблин-Брестской, Варшавско-Познанской и Берлинской наступательных операциях. Был трижды ранен.

    11 ноября 1944 возле города Люблин во время разведки гвардии старший сержант, командир отделения разведки 4-й батареи 156-го гвардейского Краснознамённого артиллерийского полка Алексей Семёнович Андрюшев обнаружил группу противника численностью около 50 человек. Вызванный им огонь батареи уничтожил 30 солдат противника. Приказом командира 77-й гвардейской стрелковой дивизии от 5 декабря 1944 года гвардии сержант Андрюшев Алексей Семёнович награждён орденом Славы III степени.

    14 января 1945 года при прорыве обороны противника восточнее города Зволень (Польша) первым ворвался в траншеи и автоматным огнём уничтожил трёх солдат противника. Корректируя огонь батареи, уничтожил две пулемётных точки. 15-16 января 1945 года при освобождении города Радом одним из первых ворвался в город и взял в плен четверых солдат противника. Приказом командующего 69-й армией от 6 марта 1945 года гвардии сержант Андрюшев Алексей Семёнович награждён орденом Славы II степени.

    27 апреля 1945 года в районе города Шторков (Германия) Алексей Андрюшев со своим отделением в результате контратаки противника оказался в окружении. В ходе боя бойцы отделения уничтожили 13 солдат и офицеров противника, а четверых солдат и офицера взяли в плен и удерживали занимаемую позицию до прихода подкрепления. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года за отвагу и храбрость в боях с немецко-фашистскими захватчиками в Великой Отечественной войне гвардии старший сержант Андрюшев Алексей Семёнович награждён орденом Славы I степени.

    День Победы Алексей Андрюшев встретил в Берлине. После демобилизации жил и работал в посёлке Бутово Московской области. Умер в 1951 году.

    Имя полного кавалера ордена Славы Алексея Семёновича Андрюшева высечено на одной из стел Аллеи героев в парке Победы города Абакан.