Родился 22 марта 1916 года в городе Курске в семье рабочего. Окончил четыре класса. В 1933 году Алексей вместе со старшим братом уехал на Дальний Восток, работал на строительстве нефтепровода через реку Амур. Затем переехал в Хабаровск, работал в железнодорожном депо молотобойцем. В 1938 году был призван в ряды Красной Армии. Участвовал в боях у озера Хасан.
Осенью 1942 года вновь был призван в ряды Красной Армии и направлен в Красноярск в артиллерийскую школу младших командиров. После окончания школы в звании сержанта прибыл в действующую армию в 196-й гвардейский полк 67-й дивизии 6-й гвардейской армии на должность командира пулемётного отделения. В составе Воронежского фронта гвардейцы мужественно сражались на Курской дуге. В октябре 1943 года 6-я гвардейская армия была передана 2-му, а затем ‒ 1-му Прибалтийскому фронту. В их составе она участвовала в Невельской, Витебско-Оршанской, Полоцкой, Шяуляйской, Рижской, Мемельской наступательных операциях и разгроме Курляндской группировки противника. За освобождение Витебска 67-й гвардейской Краснознамённой стрелковой дивизии было присвоено почётное наименование «Витебская».
Младший сержант Ветчинкин в боях у деревни Глуховка с 10 по 14 марта 1944 года, управляя боем миномётного расчёта, истребил более 20 солдат противника. При атаке немцев забрасывал солдат противника гранатами, увлекая тем самым в бой своих товарищей. Приказом по 67-й гвардейской стрелковой дивизии от 1 июня 1944 года награждён орденом Славы III степени.
В ходе Витебско-Оршанской наступательной операции, в бою за село Сиротино командир пулемётного отделения гвардии сержант Ветчинкин 23 июня 1944 года под сильным обстрелом вёл огонь из своего пулемёта по противнику. Продвигаясь вперёд, первым ворвался в траншеи противника, уничтожив пять немецких солдат. 24 июня в первых рядах форсировал реку Западная Двина. Приказом командующего 6-й гвардейской армии от 17 августа 1944 года награждён орденом Славы II степени.
В ходе Шяуляйской наступательной операции, в районе города Паневежис, при отражении контратаки противника, 13 июля 1944 года Ветчинкин под сильным огнём противника подполз к немецкой траншее, противотанковой гранатой уничтожил вражеский пулемёт вместе с расчётом и огнём из автомата ‒ до десяти солдат. В этой смертельной схватке был ранен, но вынес с поля боя тяжело раненного товарища. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года награждён орденом Славы I степени.
После войны Алексей Петрович вернулся на родину, а в 1967 году, приехав в командировку в город Черногорск, навсегда остался в Хакасии. До ухода на заслуженный отдых работал мастером паровых котлов. Скончался Алексей Петрович 4 июня (по другим данным 6 июля) 1988 года.
Имя полного кавалера ордена Славы Алексея Петровича Ветчинкина высечено на одной из стел Аллеи героев в парке Победы города Абакана.
