Родился 23 августа 1922 года в селе Семячки Трубчевского района Брянской области в семье крестьянина. Получил начальное образование. Затем жил в Кемерово.

    В августе 1941 года призван в ряды Красной Армии и направлен в 18-й отдельный дивизион ПВО 14-й кавалерийской дивизии 8-го кавалерийского корпуса. К концу войны 18-й дивизион стал гвардейским, 14-я дивизия – гвардейской Мозырской ордена Суворова II степени, а 8-й корпус за боевые заслуги преобразован в 7-й гвардейский Бранденбургский Краснознаменный орденов Ленина и Суворова II степени кавалерийский корпус. Воевал Максим Никитович на пяти фронтах – Брянском, Воронежском, Центральном, Степном и 1-м Белорусском, участвовал в оборонительных боях на Воронежском направлении, в Сталинградской битве, в освобождении Украины и Белоруссии, в Люблин-Брестской, Варшавско-Познанской, Восточно-Померанской и Берлинской наступательных операциях. Был четырежды ранен.

    20 июля 1944 года при форсировании реки Западный Буг и в бою за деревню Доругуск Ковалёв лично уничтожил до 10 гитлеровцев. 25 июля в бою за деревню Крежница, при отражении контратаки противника, уничтожил пять немецких солдат и двоих взял в плен. Приказом по частям 14-й гвардейской кавалерийской дивизии от 19 августа 1944 года гвардии сержант Ковалёв Максим Никитович награждён орденом Славы III степени.

    29 января 1945 года в боях за деревню Клайница Ковалёв огнём из своего автомата уничтожил шесть солдат противника. Будучи тяжело раненным, не ушёл с поля боя, а сражался до тех пор, пока не была отбита последняя контратака противника. В наградном листе на представление гвардии сержанта Ковалёва было написано: «Достоин правительственной награды — ордена Отечественной войны II степени». Но командир 7-го гвардейского Бранденбургского Краснознаменного кавалерийского корпуса гвардии генерал-лейтенант Константинов не согласился с мнением гвардии майора Кулиша и написал следующее: «Достоин ордена Славы II степени». Приказом по войскам 1-го Белорусского фронта от 7 мая 1945 года гвардии сержант Ковалёв Максим Никитович награждён орденом Славы II степени.

    Тогда же, в мае 1945 года, за бои на завершающем этапе войны был представлен к награждению орденом Славы I степени и Красной Звезды. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года гвардии сержант Ковалёв Максим Никитович был удостоен ордена Славы I степени.

    В декабре 1945 года был демобилизован, вернулся в Кемерово. Работал в тресте «Кемеровоуголь».

    В 1950 году переехал в Хакасию – в посёлок станции Ербинская. Работал на Ербинском известняковом заводе. Скончался Максим Никитович 24 июля 1968 года.

    28 апреля 2015 года в поселке станция Ербинская состоялась торжественная церемония открытия мемориальной доски ветерану Великой Отечественной войны, полному кавалеру ордена Славы Ковалеву Максиму Никитовичу. Мемориальная доска установлена на фасаде здания сельской библиотеки.