Родился 3 июля 1918 года в Хакасии в селе Усть-Есь Аскизского района. После окончания горнопромышленного училища работал электрослесарем на одной из шахт Черногорска.

    В 1939 году был призван в ряды Красной Армии. Служил на Дальнем Востоке. В 1941 году направлен на фронт – в 9-й кавалерийский полк 3-й кавалерийской дивизии 2-го кавалерийского корпуса.

    Воевал на Западном, Центральном, Брянском и 1-м Белорусском фронтах. Участвовал в обороне Москвы, Курской битве, в освобождении Белоруссии, Висло-Одерской, Восточно-Померанской и Берлинской наступательных операциях.

    За проявленные мужество и героизм был награжден орденами Отечественной войны I и II степени, Славы III и II степени, Красной Звезды и медалями «За отвагу», «За взятие Берлина» и другими.

    Его родной 9-й полк стал к концу войны гвардейским Седлецким Краснознаменным кавалерийским полком. Почётного наименования «Седлецкий» он был удостоен за освобождение белорусского города Седлец. 3-я дивизия стала гвардейской Мозырской Краснознаменной ордена Суворова II-й степени кавалерийской дивизией. Почётного наименования «Мозырская» удостоена за освобождение белорусского города Мозырь. А 2-й корпус стал гвардейским Померанским Краснознаменным ордена Суворова II-й степени кавалерийским корпусом. Почетного наименования «Померанский» он был удостоен за боевые заслуги в Восточно-Померанской наступательной операции.

    В составе этих удостоенных высоких наград воинских соединений Михаил Побызаков прошел путь от Москвы до Берлина. Последний наградной лист подписал командующий войсками 1-го Белорусского фронта маршал Советского Союза Георгий Константинович Жуков. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года за мужество и героизм, проявленные в Берлинской наступательной операции, гвардии старшина Побызаков Михаил Степанович был удостоен ордена Славы I степени.

    День Победы Михаил встретил в Берлине. После демобилизации вернулся в родное село. С 1948 по 1950 год работал в детском доме, затем в Есинском совхозе слесарем-ремонтником, мотористом автомашин. Потом переехал в Абакан.

    За вклад в Победу в Великой Отечественной войне, большую общественную и военно-патриотическую работу постановлением Президиума Правительства Республики Хакасия от 3 июля 2013 года Михаил Степанович Побызаков был удостоен звания «Почетный гражданин Республики Хакасия».

    Умер 19 августа 2014 года.

    В Аскизском районе Хакасии проводится турнир среди школьных команд по хоккею с мячом на кубок М. С. Побызакова. На здании Усть-Есинской средней школы, где учился герой, в 2012 году установили мемориальную доску. Имя полного кавалера ордена Славы Михаила Степановича Побызакова высечено на стеле Аллеи героев в Парке Победы г. Абакана.