Родился 20 сентября 1925 года в селе Казанка Ужурского района Красноярского края. В 1931 году вместе с родителями переехал в Хакасию ‒ на железнодорожную станцию Сон Боградского района. После окончания школы работал осмотрщиком вагонов.

    В январе 1942 года призван в Красную Армию Боградским райвоенкоматом. В составе 383-й отдельной разведывательной роты 269-й стрелковой дивизии 3-й армии воевал на Брянском, Центральном, 1-м и 2-м Белорусских фронтах. Участвовал в Орловской, Брянской, Гомельско-Речицкой, Рогачевско-Жлобинской и Белорусской наступательных операциях. За боевые заслуги 269-я стрелковая дивизия была удостоена почётного наименования «Рогачевская» и орденов Красного Знамени и Кутузова II степени. А командир взвода сержант Андрей Тартынский ‒ ордена Отечественной войны I степени.

    16 июля 1944 года в районе деревни Словики сержант Тартынский, действуя при разведке отступающего противника, одним из первых в дивизии вплавь переправился через реку Волпянка и ворвался в деревню. Подкравшись к вражескому пулемёту, противотанковой гранатой уничтожил вражеский пулемёт вместе с расчётом. Преследуя убегающих фашистов, из автомата уничтожил семь немецких солдат и офицеров. Приказом по частям 269-й стрелковой дивизии от 24 июля 1944 года сержант Тартынский Андрей Никитович награждён орденом Славы III степени.

    6 сентября 1944 года при штурме города Остроленка сержант Тартынский участвовал в десанте на самоходных орудиях. Отлично руководил группой. В уличных боях в городе лично уничтожил девять солдат и одного офицера врага. Приказом по войскам 3-й армии от 30 сентября 1944 года сержант Тартынский Андрей Никитович награждён орденом Славы II степени.

    13 октября 1944 года в бою за город Рожан сержант Тартынский, находясь в боевых порядках пехоты, уничтожил гранатами два станковых пулемёта с прислугой, чем обеспечил продвижение пехоты вперёд. Преследуя противника уничтожил пять гитлеровцев и двух взял в плен. Всего в боях за город лично уничтожил 12 вражеских солдат, участвовал в захвате двух автомобилей с рациями и военными грузами.

    Бой за город Рожан стал для нашего земляка последним. По другим сведениям, погиб 16 июля 1945 года возле населённого пункта Штенфельд (Польша). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года сержант Тартынский Андрей Никитович награждён орденом Славы I степени.

    Имя полного кавалера ордена Славы Андрея Никитовича Тартынского высечено на одной из стел Аллеи героев в парке Победы города Абакана.

    9 мая 2019 года в Боградском районе, с. Сонское, на здании школы установлена мемориальная доска с надписью: «В нашей школе учился Полный кавалер ордена Славы сержант Тартынский Андрей Никитович (Российское военно-историческое общество)».