Родился 14 октября 1918 года в селе Парная Шарыповского района Красноярского края. В 1928 году семья Елисеевых переехала в Хакасию – на рудник Андреевский Саралинского района.
После окончания неполной средней школы работал в колхозе, на руднике. В 1940 году Елисеев был призван в ряды Красной Армии. В 1941 году он окончил Сталинградское военно-политическое училище. С мая 1942 года – на фронтах Великой Отечественной войны. Принимал участие в боях на Юго-Западном, Сталинградском и 3-м Украинском фронтах. К осени 1943 года гвардии капитан Григорий Елисеев был заместителем командира по политической части 3-го стрелкового батальона 178-го гвардейского стрелкового полка 60-й гвардейской стрелковой дивизии 12-й армии 3-го Украинского фронта.
Свой подвиг Г. С. Елисеев совершил на переправе через Днепр. Ночью на 26 октября 1943 г. началась переправа через Днепр. Первые лодки стремительно двигались вперед, но противник заметил десантников и открыл огонь. Несколько солдат и офицеров были ранены. Метрах в двадцати от берега снаряд разбил лодку Г. С. Елисеева. Оглушенный, с перевязанной рукой, он оказался в холодной воде, но достиг правого берега.
Несмотря на ранение, Г. С. Елисеев уничтожил огневую точку противника, которая вела прицельный огонь по форсировавшим Днепр солдатам Красной армии. Бойцы под командованием Г. С. Елисеева захватили плацдарм на острове Хортица.
В одном из строений установили радиостанцию, с помощью которой корректировали огонь. К рассвету большая часть батальона преодолела водный рубеж. 12 раз пытались гитлеровцы выбить десантников с позиции, но безрезультатно. На следующий день враг подтянул свежие силы. Над батальоном нависла угроза окружения. В решающую минуту боя Г. С. Елисеев повел солдат в атаку, чтобы отстоять помещение, где размещалась радиостанция. Атака удалась.
Через некоторое время гарнизон получил помощь. На правый берег прибыло подкрепление, были доставлены боеприпасы. Трое суток насмерть стояли гвардейцы Г. С. Елисеева на Хортицком плацдарме. В этих боях отважный командир был ранен и тяжело контужен.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 марта 1944 г. за мужество и героизм, проявленные при форсировании Днепра и удержании плацдарма на его правом берегу, гвардии капитану Елисееву Григорию Семеновичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
Награжден орденами Ленина (1944), Отечественной войны I степени, Красной Звезды, двумя медалями «За отвагу».
После лечения в госпитале гвардии капитан Елисеев на фронт уже не вернулся, был назначен заместителем командира учебного батальона по политчасти. После войны продолжил службу в армии. В 1955 году окончил военно-политическую академию имени В. И. Ленина. После окончания академии был назначен заместителем командира полка по политчасти, затем военным комиссаром г. Полтавы. В 1966 году после 26 лет службы в Вооружённых Силах СССР уволен в запас. Григорий Семёнович ушёл из жизни 22 июня 2000 года и похоронен с воинскими почестями на Центральном кладбище г. Полтавы.
Его имя высечено на стелах в Зале Славы Центрального музея Великой Отечественной войны на Поклонной горе в Москве и на Аллее Героев в парке Победы г. Абакана. В селе Сарала установлена мемориальная доска в память о Г. С. Елисееве. В 2018 году имя Г. С. Елисеева было присвоено Муниципальному бюджетному общеобразовательному учреждению «Парнинская средняя общеобразовательная школа».
