Родился Михаил Егорович Доможаков 20 октября 1915 года в улусе Камызяк Усть-Абаканского района. В десять лет остался сиротой. После окончания начальной школы работал чабаном в совхозе, путевым рабочим на станции Абакан, добывал уголь на Черногорской шахте № 7.

    С 1938 по 1940 год проходил действительную воинскую службу в Красной Армии. Служил на Дальнем Востоке. В сентябре 1941 года был вновь призван в ряды Красной Армии и направлен в 957-й полк 309-й стрелковой дивизии, которая формировалась тогда в Хакасии. В её составе Михаил Доможаков воевал на Дону, участвовал в Курской битве, освобождал Украину.

    В сентябре 1943 года 309-я дивизия вышла к Днепру. В ночь на 24 сентября 1943 года рядовой взвода конной разведки 957-го полка 309-й Пирятинской стрелковой дивизии М. Е. Доможаков первым форсировал реку Днепр. Ему и группе бойцов предстояло разведать населённые пункты Щучинка и Балыка, выявить силы и огневые средства противника. Задача была выполнена в срок. Во время разведки М. Е. Доможаков наткнулся на группу немцев в 20 человек. Действуя умело и бесстрашно, убил 13 солдат, троих захватил в плен. Остальные убежали. 26 сентября М. Е. Доможаков пробрался в тыл противника, закидал гранатами прислугу станкового пулемёта, а затем захватил этот пулемёт, мешавший переправе наших подразделений…», ‒ так написал командир 957-го полка майор Каснер в наградном листе на представление Доможакова Михаила Егоровича к званию Героя Советского Союза.

    За мужество и отвагу, проявленные при форсировании Днепра, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 октября 1943 года красноармейцу Доможакову Михаилу Егоровичу было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

    В апреле 1944 года Доможаков был направлен на курсы младших лейтенантов 1-й гвардейской армии. После окончания, младший лейтенант Доможаков ‒ командир стрелкового взвода 581-го стрелкового полка 151-й стрелковой дивизии 4-го Украинского фронта ‒ бил фашистов в Карпатах и освобождал Будапешт. 5 апреля 1945 года в бою у озера Балатон он был тяжело ранен. После лечения, в октябре 1945 года Доможаков уволился в запас. Вернулся в Хакасию, работал путевым сторожем, дежурным по станции, диспетчером на станции Аскиз, затем на овцеводческой ферме в совхозе «Степной» Усть-Абаканского района.

    После выхода на пенсию проживал в Абакане. Умер в 18 февраля 1993 года, похоронен на кладбище жилого района Красный Абакан. Решением Правительства Республики Хакасия на могиле Героя установлен памятник. В Абакане одна из улиц в 9-м жилом районе города носит имя М. Доможакова. Имя Доможакова Михаила Егоровича высечено на стелах в Зале Славы Центрального музея Великой Отечественной войны на Поклонной горе в Москве и на Аллее Героев в парке Победы Абакана.