Родился в 1885 году на территории Полтавской губернии (ныне Полтавской области) Украины в семье крестьянина. В 1910 году семья Крицких переселилась в Сибирь и обосновалась в селе Ново-Вознесенка Минусинского уезда Енисейской губернии, ныне – село Кирово Алтайского района Республики Хакасия.

    С началом коллективизации в начале 1930-х годов И. А. Крицкий вступил в местную сельскохозяйственную артель. После образования в январе 1944 года Алтайского района и реорганизации соседних хозяйств И. А. Крицкий продолжил трудиться агрономом во вновь образованном колхозе имени Ленина Алтайского района. Всего за два года, в том числе и благодаря усилиям главного агронома И. А Крицкого, в колхозе была внедрена передовая бригадная система работы в полеводстве.

    Через непродолжительный период удалось первоначально отстающее хозяйство, урожайность пшеницы в котором составляла 3-5 центнеров с гектара, вывести в число рентабельных.

    Повысилась культура как земледелия, так и животноводства. Результат не заставил себя ждать: уже в 1947 году валовой сбор зерна возрос в 7 раз, а план сдачи государству хлеба выполнен почти на 200 процентов.

    Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1948 года «За исключительные заслуги перед государством, выразившиеся в поучении в 1947 году урожая пшеницы 33 центнера с гектара», Ивану Андреевичу Крицкому было присвоено высокое звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».

    Проживал в с. Кирово Алтайского района Хакасии.