Родился в 1914 году в Усть-Абаканском районе Хакасской автономной области в семье крестьянина. После окончания начальной школы работал в местном колхозе разнорабочим, а после окончания курсов - трактористом в Новомихайловской машинно-тракторной станции (МТС). После окончания в 1934 году школы механизации в городе Ачинске работал на комбайне, выдавая наивысшую выработку на жатве хлебов в районе.

    С началом Великой Отечественной войны был мобилизован в действующую армию и с июля 1941 года участвовал в оборонительных боях под Москвой. На первом этапе войны был телефонистом, а после излечения от ранения продолжил службу шофёром 143 армейской пушечно-артиллерийской бригады в составе 49 армии. После демобилизации в 1946 году вернулся на родину и продолжил работать механизатором в Хакасской МТС, был лучшим тружеником в области и Красноярском крае.

    Указом Президиума Верховного Совета СССР от 11 января 1957 года за выдающиеся достижения в освоении целинных и залежных земель, успешное проведение уборки урожая и хлебозаготовок в 1956 году Шиш Григорий Яковлевич удостоен звания Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».

    После реорганизации МТС Г. Я. Шиш продолжил трудиться комбайнёром в Усть-Абаканском объединении «Сельхозтехника», а позже механиком автобазы там же. Избирался депутатом Верховного Совета СССР 5-го созыва (1958-1962).

    Награждён тремя орденами Ленина, орденами Отечественной войны II-й степени и Красной Звезды, медалями.