Родился в аале Полтаков (ныне Аскизского района Республики Хакасия). Получил начальное образование в Есинской начальной школе.

    Трудился в сельском хозяйстве до призыва в Красную Армию по мобилизации. Участник Великой Отечественной войны. Боевой путь прошёл в составе 913-го стрелкового полка (243-я стрелковая дивизия). После демобилизации Егор Терентьевич вернулся на родину и продолжил работать в местном колхозе имени Сталина («Аргыз Сталин») бригадиром полеводческой бригады. Главной задачей его бригады было строительство головного канала-оросителя «Комсомольский». Созданное звано поливальщиков выполняло сменную норму копки канала на 244 процента, что дало возможность обеспечить досрочный ввод канала в эксплуатацию.

    Звено Егора Терентьевича из этого канала регулярно подавало воду для орошения полей. По итогам работы в 1947 году бригадой Е. Т. Топоева получен урожай пшеницы 30,7 центнера с гектара на площади 44,72 гектара, притом, как в среднем по Хакасии урожай составил 11 центнеров с гектара.

    Указом Президиума Верховного Совета СССР от 7 января 1948 года за получение высоких урожаев пшеницы и ржи в 1947 году Топоеву Егору Терентьевичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».

    Проживал в родном селе Полтаков. Умер 21 октября 2002 года.