Родился 11 июля 1912 года в улусе Синявино Усть-Абаканского района Хакасии в семье крестьянина. В 1931 году семья Уязновых переехала в Хакасский овцесовхоз (позже Московский племовцесовхоз, далее - государственный племенной завод), где Антону поручили отару овец.

    С началом Великой Отечественной войны был мобилизован, по состоянию здоровья определён в трудовую армию. После демобилизации в 1946 году А. А. Уязнов вернулся в родной совхоз и был назначен старшим чабаном.

    Вместе с директором совхоза Н. С. Колотилиным, старшими чабанами Т. В. Окуневой и А. А. Щетининым участвовал в создании красноярской тонкорунной породы овец хакасского типа. Работал семейным подрядом, с женой и детьми.

    В 1970 году А. А. Уязнов получил 132 ягнёнка от 100 овцематок и настриг шерсти с одной овцы 5,2 килограмма (по области настриг с овцы составил в том году 3,5 килограмма шерсти).

    Указом Президиума Верховного Совета СССР от 8 апреля 1971 года за выдающиеся успехи, достигнутые в развитии сельскохозяйственного производства и выполнении пятилетнего плана продажи государству продуктов земледелия и животноводства, Уязнов Антон Андреевич удостоен звания Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».

    За 40 лет работы чабаном А. А. Уязновым было выращено около 25 тысяч овец.

    Скончался 14 февраля 2000 года.

    Награждён орденами Ленина (8 апреля 1971) и «Знак Почёта» (11 января 1957), медалями, а также медалями ВДНХ СССР.